Analysis I: Eine Einführung in die Mathematik des Kontinuums by Daniel Grieser PDF

By Daniel Grieser

ISBN-10: 365805946X

ISBN-13: 9783658059460

ISBN-10: 3658059478

ISBN-13: 9783658059477

Entdecken Sie die höhere Mathematik für sich: used to be sind die komplexen Zahlen, wie steht es mit der Unendlichkeit, ist 0,999…=1 und was once steckt hinter der berühmten Eulerschen Formel? Mit diesem kompakten Lehrbuch der research werden Sie dies und vieles mehr verstehen und sich dabei die Grundlagen für das Studium der Mathematik und der Naturwissenschaften aneignen. Das Buch ist aus dem beliebten, in Zusammenarbeit mit Studierenden entstandenen Skript des Autors entstanden und unterstützt Sie besonders beim Übergang von der Schule ins Studium. Mathematische Präzision gepaart mit anschaulichen Erklärungen und motivierenden Beispielen - das wird dieses Buch zu Ihrem ständigen Begleiter machen.

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Induktionsbehauptung:  +  + . . + (n + ) = Induktionsschluss (n ↝ n + ): Es ist (n + )(n + ) .  n(n + ) .  n(n + ) + (n + )  n(n + ) + (n + ) (n + )(n + ) = =   Ann.  +  + . . + (n + ) = ( +  + . . + n) + (n + ) = Die Behauptung gilt somit nach dem Prinzip der vollständigen Induktion für alle n ∈ N. ◻ Strategie Wenn Sie versuchen, den Induktionsschluss durchzuführen, fragen Sie sich: Wie kann ich A(n + ) mit A(n) in Verbindung bringen? 22 2 Reelle, rationale und ganze Zahlen Bemerkung Die Frage liegt nahe, wie man die Formel für  +  + .

Es lohnt sich ein wenig zu üben, „geometrisch offensichtliche“ Aussagen die den Abstand betreffen, formal zu beweisen. 12 Lemma Für x, y ∈ R folgt aus ∣x − y∣ ≤ x x , dass y ≥ .   Siehe Abb. 1. Beweis Wegen x − y ≤ ∣x − y∣ ≤ x  ist y = x − (x − y) ≥ x − x  = x . 2 Die natürlichen Zahlen Die natürlichen Zahlen sind zwar einfacher als die reellen Zahlen – z. B. lernt man sie schon in der Grundschule kennen –, doch da wir unser Mathematik-Gebäude mit den reellen Zahlen begonnen haben, wollen wir die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen charakterisieren.

Bung 2-9 [2] Multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie: (a − b) ⋅ (a  + ab + b  ) (a − b) ⋅ (a  + a  b + ab  + b  ) . Stellen Sie eine Vermutung über eine allgemeine Formel auf und begründen Sie diese. Zeigen Sie, dass a  −  und a  +  für keine natürliche Zahl a >  Primzahlen sind. Übung 2-10 [2] n Eine Folge von Zahlen a  , a  , . . sei induktiv definiert durch a  =  und a n+ = ∑ a i für i= alle n ∈ N. Bestimmen Sie a n für n = , , , , , stellen Sie eine Vermutung für eine allgemeine Formel auf und beweisen Sie diese mit vollständiger Induktion.

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by Ronald
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